Необходимые и достаточные условия выпуклости функции на отрезке

$f(x)$ - выпукла вниз на $[a,b] \iff$ $\forall{x_{1}, x_{2} \in (a, b)}~~ \forall{x \in (x_{1}, x_{2})}\mathpunct{:}$ $$\dfrac{f(x) - f(x_{1})}{x-x_{1}} \leq \dfrac{f(x_{2}) - f(x)}{x_{2} - x}$$ $f(x)$ - выпукла вверх на $[a,b] \iff$ $\forall{x_{1}, x_{2} \in (a, b)}~~ \forall{x \in (x_{1}, x_{2})}\mathpunct{:}$ $$\dfrac{f(x) - f(x_{1})}{x-x_{1}} \geq \dfrac{f(x_{2}) - f(x)}{x_{2} - x}$$

$\Large{\implies}$ Уравнение хорды: $$h(x) = f(x_{1})\dfrac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}} + f(x_{2})\dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$ Из выпуклости вниз: $$f(x) \leq f(x_{1})\dfrac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}} + f(x_{2})\dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} ~~\Huge|\normalsize \cdot (x_{2} - x_{1})$$ $$f(x)(x_{2} - x + x - x_{1}) \leq f(x_{1})(x_{2}-x) + f(x_{2})(x-x_{1})$$ $$(x_{2} - x)(f(x) - f(x_{1})) \leq (f(x_{2}) - f(x))(x-x_{1})$$ $$\dfrac{f(x) - f(x_{1})}{x-x_{1}} \leq \dfrac{f(x_{2}) - f(x)}{x_{2} - x}$$ $\Large\impliedby$ Так же, но в обратную сторону. $~~~\square$

!convex_function.png (в неравенстве: слева - тангенс угла наклона первого отрезка, справа - второго отрезка)

Если $f(x)$ - дифференцируема на связном множестве $X$ ($[a, b]$), то: - $f(x)$ - выпукла вниз на $X \iff f'(x)$ - возрастает - $f(x)$ - выпукла вверх на $X \iff f'(x)$ - убывает

$\Large{\implies}$ $f(x)$ - выпукла вниз. Тогда по лемме: $$\dfrac{f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}} \leq \dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \leq \dfrac{f(x_{2}) - f(x)}{x_{2}-x}$$ По теореме о переходе к пределу в неравенстве: $$f'(x_{1}) = \lim_{x \to x_{1}} \dfrac{f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}} \leq \dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \leq \lim_{x \to x_{2}} \dfrac{f(x_{2}) - f(x)}{x_{2}-x} = f'(x_{2})$$ А значит: $f'(x_{1}) \leq f'(x_{2})$ $\Large\impliedby$ $f'(x)$ - возрастает. Тогда по теореме Лагранжа $\exists{c_{1} \in (x_{1}, x), c_{2} \in (x, x_{2})}\mathpunct{:}$ $$\dfrac{f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}} = f'(c_{1}) \leq f'(c_{2}) = \dfrac{f(x_{2}) - f(x)}{x_{2} - x}$$ Тогда по лемме получаем, что $f(x)$ - выпукла вниз. $~~\square$